Vor Ort sieht die klassische Situation so aus: Man misst einen Garten, ein Grundstück oder einen verwinkelten Raum, erhält vier unterschiedliche Längen und ist blockiert. Die Formel Länge x Breite funktioniert nur für ein Rechteck. Sobald die vier Seiten nicht gleich lang sind und die Winkel nicht rechtwinklig sind, muss man die Methode ändern.
Mehrere Ansätze ermöglichen es, mit einem Maßband, ein wenig Methode und manchmal einer App auf dem Telefon zurechtzukommen.
Warum das Messen von vier Seiten nicht ausreicht, um die Fläche zu berechnen
Man glaubt oft, dass mit den vier Längen eines Grundstücks die Berechnung erledigt ist. In Wirklichkeit definieren vier Seiten keine eindeutige Form. Ein Viereck mit gleichen Seiten kann je nach seinen Winkeln flach, gestreckt oder verdreht sein. Zwei Grundstücke mit identischen Seiten können sehr unterschiedliche Flächen haben.
Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, benötigt man eine zusätzliche Information: entweder einen Winkel oder eine Diagonale. Ohne diese fünfte Messung liefert keine Formel ein zuverlässiges Ergebnis. Neuere Online-Rechner bestehen übrigens darauf und verlangen systematisch die Bestätigung, dass man über eine Diagonale oder einen Winkel verfügt, bevor man die Berechnung startet.
Wenn man eine Fläche in m2 mit 4 unterschiedlichen Seiten berechnen möchte, vermeidet dieser Überprüfungsschritt die häufigsten Fehler. Wenn man die Diagonale weglässt, erhält man bestenfalls eine grobe Annäherung.
Diagonalenmethode und Heronsche Formel für ein unregelmäßiges Grundstück
Die zuverlässigste Methode vor Ort besteht darin, das Viereck in zwei Dreiecke zu unterteilen, indem man eine am Boden gemessene Diagonale verwendet. Man zieht die am leichtesten zugängliche Diagonale (die nicht durch ein Hindernis wie einen Baum oder eine Wand verläuft) und misst ihre Länge.
Man erhält dann zwei Dreiecke, deren drei Seiten jeweils bekannt sind. Die Heronsche Formel ermöglicht es, die Fläche jedes Dreiecks zu berechnen, ohne einen Winkel messen zu müssen.
Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c berechnet man zuerst den halben Umfang: s = (a + b + c) / 2. Die Fläche beträgt dann die Quadratwurzel von s(s-a)(s-b)(s-c). Man wiederholt den Vorgang für das zweite Dreieck und addiert die beiden Ergebnisse.
- Die vier Seiten des Vierecks mit einem Maßband oder einem Laser-Entfernungsmesser messen
- Eine innere Diagonale zeichnen und messen, vorzugsweise die längste
- Die Heronsche Formel auf jedes der beiden erhaltenen Dreiecke anwenden
- Die beiden Flächen addieren, um die gesamte Fläche in m2 zu erhalten
Diese Methode funktioniert für jedes Viereck, ob konvex oder konkav. Für ein konkaves Viereck verwendet man die Diagonale, die innerhalb der Form bleibt, andernfalls wird das Ergebnis falsch sein.
Konkretes Beispiel für ein Gartenstück
Nehmen wir ein Grundstück mit vier gemessenen Seiten und einer am Boden erfassten Diagonale. Man identifiziert das erste Dreieck (Seite 1, Seite 2, Diagonale) und das zweite (Seite 3, Seite 4, Diagonale). Man wendet Heron zweimal an. Die Summe ergibt die Fläche des Gartens in Quadratmetern, bereit, auf einem Plan oder einem Angebot für Erdarbeiten zu erscheinen.
Berechnung durch Diagonalen und Winkel: eine Alternative, wenn man ein Winkelmesser hat
Wenn man die beiden Diagonalen eines Vierecks und den Winkel, den sie miteinander bilden, kennt, liefert eine direkte Formel die Fläche: Fläche = (d1 x d2 x sin(Winkel)) / 2. Das ist schnell und umgeht die Heronsche Formel.
Auf einer Baustelle ist diese Methode nützlich, wenn die beiden Diagonalen leicht zu messen sind (freies Gelände, leerer Raum) und man ein Werkzeug zur Erfassung des Winkels hat, auch wenn es nur ungefähr ist. Einige Mess-Apps auf Smartphones geben diesen Winkel anhand eines Luftbildes oder eines Katasterplans an.
Die Rückmeldungen variieren hinsichtlich der Genauigkeit dieser Methode im Vergleich zur Triangulation nach Heron. In der Praxis, wenn der Winkel sorgfältig gemessen wird, liefern beide Ansätze sehr ähnliche Ergebnisse. Der Fehler resultiert fast immer aus einer schlampigen Messung vor Ort, nicht aus der gewählten Formel.
Häufige Fehler und Überprüfungen vor Ort
Die erste Fehlerquelle besteht darin, ein beliebiges Viereck mit einem Trapez oder einem Parallelogramm zu verwechseln. Wenn die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel sind, führt die Anwendung der Trapezformel zu einem falschen Ergebnis. Man überprüft die Parallelität am Boden, bevor man seine Formel auswählt.
Zweite Falle: die Neigung vernachlässigen. Eine in der Neigung gemessene Fläche erscheint größer als ihre horizontale Projektion am Boden. Für ein Angebot für Fliesen oder eine Erklärung der Wohnfläche zählt die horizontale Projektion.
- Die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten überprüfen, bevor man eine vereinfachte Formel auswählt
- Bei einem geneigten Gelände die Messung korrigieren, um die projizierte Fläche zu erhalten
- Die Diagonale messen, indem man das Band gut am Boden spannt, ohne Ablenkung
- Die Berechnung mit der zweiten Diagonale wiederholen, wenn möglich, um das Ergebnis zu überprüfen
Ein guter Reflex besteht darin, das Ergebnis mit zwei verschiedenen Methoden zu überprüfen. Wenn die Triangulation nach Heron und die Methode über Diagonalen eine Abweichung von mehr als einigen Prozent ergeben, ist eine der Ausgangsmessungen wahrscheinlich falsch.
Für Innenräume mit nicht rechtwinkligen Wänden gilt die gleiche Logik. Man misst die vier Wände, erfasst eine Diagonale mit einem Laser-Entfernungsmesser und berechnet. Die Fachleute für Immobilienbewertungen verfahren genau nach dieser Methode für die Carrez-Flächen von verwinkelten Räumen.
Am Ende liegt die Schwierigkeit nie in der Formel. Sie liegt in der Genauigkeit der Messung vor Ort und in der Wahl der richtigen Diagonale. Mit einem Maßband, einem Bleistift und einem Taschenrechner liefert jedes Viereck mit vier unterschiedlichen Seiten seine Fläche in wenigen Minuten.
